मूलों का योग = –b/a = –3/2 (द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 के लिए, मूलों का योग = –b/a)

मूल 2+√3 और 2–√3 हैं। योग = 4, गुणनफल = (2+√3)(2–√3) = 4–3 = 1। समीकरण: x² – 4x + 1 = 0

जब विविक्त (D = b² – 4ac) शून्य हो, तो मूल समान होते हैं।

विविक्त D = b² – 4ac = (–7)² – 4(3)(–1) = 49 + 12 = 61

मूल x = 3 और x = 2 हैं। गुणनफल = 3 × 2 = 6

मूल x = 1 और x = 4 हैं। इनके बीच पूर्ण संख्याएँ 2 और 3 हैं, अर्थात 2 संख्याएँ।

x² – bx + c = 0 एक मानक द्विघात समीकरण है (ax² + bx + c = 0 के रूप में)।

(x + 1/x)² = x² + 1/x² + 2 → 16 = x² + 1/x² + 2 → x² + 1/x² = 14

द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 के लिए विविक्त D = b² – 4ac

2x – 1 = 0 → x = 1/2 और x – 2 = 0 → x = 2। अतः मूल 1/2 और 2 हैं।

तीन प्रकार: (1) वास्तविक और भिन्न (D>0), (2) वास्तविक और समान (D=0), (3) अवास्तविक (D<0)

5x² = 5 → x² = 1 → x = ±1। अतः मूल 1 और –1 हैं।

जब विविक्त शून्य हो (b² – 4ac = 0), तो मूल वास्तविक और समान होते हैं।

विविक्त D = 9 + 72 = 81 > 0 (धनात्मक), अतः मूल वास्तविक हैं।

निरपेक्ष मान (absolute value) |x| = 4 का अर्थ है x = 4 या x = –4

वास्तविक मूलों के लिए विविक्त शून्य या धनात्मक होना चाहिए, अर्थात b² – 4ac ≥ 0

विविक्त D = 9 – 40 = –31 < 0 (ऋणात्मक), अतः मूल अवास्तविक (काल्पनिक) हैं।

विविक्त D = b² – 4ac = (–3)² – 4(1)(–9) = 9 + 36 = 45

x – 4 = ±√72 = ±6√2 → x = 4 ± 6√2

समीकरण = x² – (α+β)x + αβ = 0 → x² – 7x/2 + 5/2 = 0। दोनों ओर 2 से गुणा करने पर: 2x² – 7x + 5 = 0

विविक्त D = 9 – 40 = –31 < 0, अतः मूल अवास्तविक (काल्पनिक) हैं।

समान मूल के लिए D = 0 → (–4a)² – 4(4)(2a+1) = 0 → 16a² – 32a – 16 = 0 → a² – 2a – 1 = 0। हल करने पर a = 1/2 (व्यावहारिक उत्तर)

मूलों का योग = –b/a = –4/(–3) = 4/3

द्विघात समीकरण के समान मूल होने के लिए विविक्त शून्य होना चाहिए, अर्थात b² – 4ac = 0

विविक्त D = b² – 4ac = (10)² – 4(3)(3) = 100 – 36 = 64

विविक्त D = 4 – 12 = –8 < 0 (ऋणात्मक), अतः मूल अवास्तविक (काल्पनिक) हैं।